Теорема Виета: как понять и использовать

Одним из полезных приемов в математике, с помощью которого можно решать различные уравнения и задачи, является теорема Виета.

Она применяется не только школьниками, но и взрослыми для решения профессиональных задач математического характера. В статье вы узнаете подробно, что это за теорема и как ее использовать на практике.

Что такое теорема Виета?

Больше 4 тыс. лет назад изобрели квадратные уравнения. Их умели решать древние египтяне и вавилоняне.

А в XVI веке французский ученый-математик Ф.Виет выявил закономерную связь между корнями и коэффициентами в таких типах уравнений.

Формулы, изобретенные Виетом, связывают коэффициенты многочленов с суммами и произведениями корней. Например, есть квадратный многочлен  Его корни равны x=−5 и x=3, поскольку

Теорему Виета используют для нахождения суммы (3+(−5)=−2) и произведения корней (3⋅(−5)=−15) без непосредственного нахождения каждого корня. В приведенном выше примере все довольно просто.

Теорема чрезвычайно полезна в более сложных алгебраических многочленах с многими корнями или когда корни многочлена трудно вывести.

Закономерность обрела применение в упрощении радикалов, решении иррациональных уравнений, математических доказательствах, решении систем уравнений и прочее. 

Читайте также: Математика онлайн – как организовать занятия по точным наукам через Skype

Теорема Виета: формулы

Рассмотрим квадратное уравнение типа Где а ≠ 0. Уравнение состоит из коэффициентов а и b, свободного члена с и переменной x.

Такого вида уравнения решаются с помощью дискриминанта. Для этого задействуем формулу: Если D больше 0, то уравнение имеет 2 корня, если D равно 0, то 1 корень, а если меньше 0, то действительных корней нет. 

Теорема упрощает поиск корней, но сначала нужно упростить квадратное уравнение. Приведенным называется тип квадратного уравнения, в котором а равен 1.

Однако можно легко преобразовать любое полное уравнение в приведенное (упрощенное), если поделить его на значение а. Например, уравнение  Упрощаем как 

Из приведенных выше формул вытекают соотношения: сумма корней уравнения соответствует второму коэффициенту с отрицательным знаком, а произведение корней дает число, равное свободному члену. Эти результаты подтверждаются с помощью теоремы Виета.

Итак, еще раз обозначим две формулы теоремы Виета, которые утверждают, что:

После замены коэффициентов p и q в уравнении их выражением через x1 и x2, оно преобразуется в эквивалентное уравнение.

Подставляя число x1 в полученное уравнение вместо x, мы получаем равенство что для любых x1 и x2 является истинным числовым равенством 0 = 0, поскольку           

Следовательно, x1 является корнем уравнения

Если в уравнении подставить вместо x число x2, то получим равенство  

Это верное равенство, поскольку

Следовательно, x2 выступает корнем уравнения А вместе с этим и эквивалентного уравнения. Так расписывается теорема Виета. Онлайн калькулятор может помочь быстро найти корни, но необходимо понимать суть теоремы. 

Обычно дети школьного возраста, да и многие взрослые, испытывают трудности с математикой. В таком случае стоит обратиться к репетитору по математике, который определит ваш уровень и составит индивидуальную учебную программу. Большой выбор репетиторов есть на BUKI. Там вы всегда можете найти преподавателя, соответствующего вашим требованиям.

Читайте также: Логарифмы: свойства и формулы

Примеры использования теоремы Виета

Рассмотрим наглядные примеры, как решать по теореме Виета. 

Возьмем простое приведенное уравнение 

x1 + x2 = 4;

x1 x2 = 3;

x1 = 3, x2 = 1.

Необходимо найти сумму и произведение корней для уравнения 

x1 + x2 = –5;

x1 x2 = 2/3.

Следующий пример. Нужно найти значение b и c в приведенном уравнении, если значения корней данного уравнения –7 и 4. 

По формулам Виета получается: b = – (–7 + 4) = 3 и с = –7 * 4 = – 28.

Нужно написать квадратное уравнение, которое имеет целые коэффициенты, а корни его равны 4 и –5/7. 

x1 =4, x2 = –5/7. 

Применяя теорему, получаем: – b = 4 + (–5/7) = 23/7; с = 4 * (–5/7) = 20/7.

Имеем такое уравнение: 

Чтобы получить целые коэффициенты, умножим обе части этого уравнения на 7: 

Восстановить уравнение, корнями которого являются 1 – √2 и 1 + √2.

Подставляем полученные значения коэффициента и свободного члена в уравнение: 

Читайте также: Как найти репетитора для ребенка?