Теорема Виета: как понять и использовать

16.09.2021

Теорема Виета: как понять и использовать
Школьное образование
  1. Что такое теорема Виета?
  2. Теорема Виета: формулы
  3. Примеры использования теоремы Виета
  4.  

    Одним из полезных приемов в математике, с помощью которого можно решать различные уравнения и задачи, является теорема Виета.

     

    Она применяется не только школьниками, но и взрослыми для решения профессиональных задач математического характера. В статье вы узнаете подробно, что это за теорема и как ее использовать на практике.

     

    Что такое теорема Виета?

    Больше 4 тыс. лет назад изобрели квадратные уравнения. Их умели решать древние египтяне и вавилоняне.

     

    А в XVI веке французский ученый-математик Ф.Виет выявил закономерную связь между корнями и коэффициентами в таких типах уравнений.

     

    Формулы, изобретенные Виетом, связывают коэффициенты многочленов с суммами и произведениями корней. Например, есть квадратный многочлен теорема Виета Его корни равны x=−5 и x=3, поскольку

     

    Теорему Виета используют для нахождения суммы (3+(−5)=−2) и произведения корней (3⋅(−5)=−15) без непосредственного нахождения каждого корня. В приведенном выше примере все довольно просто.

     

    Теорема чрезвычайно полезна в более сложных алгебраических многочленах с многими корнями или когда корни многочлена трудно вывести.

     теорема-виета-формула

    Закономерность обрела применение в упрощении радикалов, решении иррациональных уравнений, математических доказательствах, решении систем уравнений и прочее. 

    Читайте также: Математика онлайн – как организовать занятия по точным наукам через Skype

    Теорема Виета: формулы

    Рассмотрим квадратное уравнение типа Где а ≠ 0. Уравнение состоит из коэффициентов а и b, свободного члена с и переменной x.

     

    Такого вида уравнения решаются с помощью дискриминанта. Для этого задействуем формулу: Если D больше 0, то уравнение имеет 2 корня, если D равно 0, то 1 корень, а если меньше 0, то действительных корней нет. 

     

    Теорема упрощает поиск корней, но сначала нужно упростить квадратное уравнение. Приведенным называется тип квадратного уравнения, в котором а равен 1.

     теорема-виета-формула

    Однако можно легко преобразовать любое полное уравнение в приведенное (упрощенное), если поделить его на значение а. Например, уравнение  Упрощаем как  теорема Виета

     

    Из приведенных выше формул вытекают соотношения: сумма корней уравнения соответствует второму коэффициенту с отрицательным знаком, а произведение корней дает число, равное свободному члену. Эти результаты подтверждаются с помощью теоремы Виета.

     

    Итак, еще раз обозначим две формулы теоремы Виета, которые утверждают, что:

    C:\Users\User\Desktop\image710.jpg

                                  

    После замены коэффициентов p и q в уравнении их выражением через x1 и x2, оно преобразуется в эквивалентное уравнение.

     

    Подставляя число x1 в полученное уравнение вместо x, мы получаем равенство что для любых x1 и x2 является истинным числовым равенством 0 = 0, поскольку           

     

    Следовательно, x1 является корнем уравнения

     

    Если в уравнении подставить вместо x число x2, то получим равенство  

     

    Это верное равенство, поскольку

     

    Следовательно, x2 выступает корнем уравнения А вместе с этим и эквивалентного уравнения. Так расписывается теорема Виета. Онлайн калькулятор может помочь быстро найти корни, но необходимо понимать суть теоремы. 

     

    Обычно дети школьного возраста, да и многие взрослые, испытывают трудности с математикой. В таком случае стоит обратиться к репетитору по математике, который определит ваш уровень и составит индивидуальную учебную программу. Большой выбор репетиторов есть на BUKI. Там вы всегда можете найти преподавателя, соответствующего вашим требованиям.

    Читайте также: Логарифмы: свойства и формулы

    Примеры использования теоремы Виета

    Рассмотрим наглядные примеры, как решать по теореме Виета. 

     

     

    Возьмем простое приведенное уравнение теорема Виета

    x1 + x2 = 4;

    x1 x2 = 3;

    x1 = 3, x2 = 1.

     

    Необходимо найти сумму и произведение корней для уравнения 

    x1 + x2 = –5;

    x1 x2 = 2/3.

     

    Следующий пример. Нужно найти значение b и c в приведенном уравнении, если значения корней данного уравнения –7 и 4. 

    По формулам Виета получается: b = – (–7 + 4) = 3 и с = –7 * 4 = – 28.

     

    Нужно написать квадратное уравнение, которое имеет целые коэффициенты, а корни его равны 4 и –5/7. 

     

    x1 =4, x2 = –5/7. 

     

    Применяя теорему, получаем: – b = 4 + (–5/7) = 23/7; с = 4 * (–5/7) = 20/7.

     

    Имеем такое уравнение: теорема Виета

    Чтобы получить целые коэффициенты, умножим обе части этого уравнения на 7: 

     

    Восстановить уравнение, корнями которого являются 1 – √2 и 1 + √2.

    теорема Виета

     

    Подставляем полученные значения коэффициента и свободного члена в уравнение: 

     

    Читайте также: Как найти репетитора для ребенка?

Оцените новость

Рейтинг: 5 из 5

На основе отзывов 1 пользователей

Нужен репетитор?

Выбирай лучших преподавателей на сервисе Буки!

<span id="docs-internal-guid-95836cbe-7fff-c2d1-e55e-a8e6aaadce96">Теорема Виета: как понять и использовать</span>

Что такое теорема Виета?

Теорему Виета используют для нахождения суммы (3+(−5)=−2) и произведения корней (3⋅(−5)=−15) без непосредственного нахождения каждого корня. В приведенном выше примере все довольно просто. 

Как применять теорему Виета?

Одним из полезных приемов в математике, с помощью которого можно решать различные уравнения и задачи, является теорема Виета. Она применяется не только школьниками, но и взрослыми для решения профессиональных задач математического характера. 

Зачем нужна теорема Виета?

Формулы, изобретенные Виетом, связывают коэффициенты многочленов с суммами и произведениями корней. Например, есть квадратный многочлен f(x)=x2+2x−15, его корни равны x=−5 и x=3. 

Какая формула теоремы Виета?

Теорема упрощает поиск корней, но сначала нужно упростить квадратное уравнение. Приведенным называется тип квадратного уравнения, в котором а равен 1. Однако можно легко преобразовать любое полное уравнение в приведенное (упрощенное), если поделить его на значение а. 

Другие новости:

Регистрируйся как репетитор на BUKI!

Бесплатная регистрация за 10 минут

Занятия персонально или по Skype

Оплата напрямую от ученика

Также читайте раздел «Блоги репетиторов»:

Наука о данных. Наше будущее

Для многих начинающих профессионалов в области данных получение первой «настоящей» работы в области науки о данных может показаться чем-то вроде очень сложным. Вы не можете получить работу, не имея оп

Автор: Асем Д.

Подготовка к экзаменам IELTS и TOEFL: что надо знать для начала

Для студентов, планирующих подготовиться сдать международные экзамены на высокий балл: мотивация, база, общая характеристика, советы.

Автор: Виталий Р.

Точные науки как концепция развития общества и личности

В этой статье раскрываются особенности овладения точными науками и преимущества которые они дают.

Автор: Cергей Л.

6 советов для улучшения продуктивности в учебе

Хотите лучше учиться? Сколько времени вы потратите на изучение материала, который вы изучаете в классе? Будете ли вы заниматься каждую неделю или, как большинство студентов, подождать и засунуть все

Автор: Асем Д.

6 советов, которые увлекут ваших детей программированием

В нашем будущем ожидаются крупномасштабные изменения, и когда-нибудь программирование вполне может стать такой же неотъемлемой частью раннего образования, как чтение, письмо и математика. К счастью, в

Автор: Асем Д.