Линейное уравнение: что это такое и как его решить

21.11.2022

Линейное уравнение: что это такое и как его решить
Школьное образование
  1. Что такое линейное уравнение?
  2. Как решать линейные уравнения?
  3. Какие операции можно выполнять с линейными уравнениями?
  4. Решение системы линейных уравнение методом Крамера
  5. Решение систем уравнений методом Гаусса

Линейные уравнения школьники решают, начиная с седьмого класса. С каждым годом примеры усложняются и для их успешного решения необходимо хорошо знать материал предыдущих годов. 

 

Старшеклассники и студенты технических специальностей оперируют целыми системами линейных уравнений и решают их разными методами. С понятием линейных уравнений и несколькими способами решения систем уравнений вы познакомитесь в этой статье.

Что такое линейное уравнение?

Уравнение вида а*х=b, где а и b – это какие-то числа, называется линейным. Если ученика 7 класса попросят решить уравнение Х*2=6, он сразу же ответит, что Х=3. Это и есть линейное уравнение. Записывается в рабочей тетради оно следующим образом.

 

Х*2=6
Х=3

 

Число, при котором уравнение превращается в верное равенство, называется корнем уравнения.

 

3х=7 – это линейное уравнение, потому что в нем на месте а и b стоят определенные числа и присутствует переменная х. А уравнение х2+х=9 нельзя назвать линейным, потому что в общем виде линейного уравнения переменная находится в первой степени, а в данном примере х во второй степени.

 

Рассмотрим еще одно уравнение.

Линейное уравнение

В нем присутствует деление на переменную, которое отсутствует в общем виде линейного уравнение, поэтому данное уравнение не является линейным. 

 

Подытожим: в линейном уравнении переменная должна быть в первой степени и на нее нельзя делить.

линейное уравнение

Как решать линейные уравнения?

Рассмотрим решение на примере следующего линейного уравнения.

11 * х = -132

Все линейные уравнения такого вида решаются по аналогии с примерами 5 и 6 класса, в которых присутствовали два множителя и произведение. Чтобы найти второй множитель, нужно произведение разделить на первый множитель.

х = -132 / 11

х = -12

Такое уравнение имеет один корень. Но бывают и другие ситуации. Например, у уравнения 0*Х=13 нет корней, потому что на ноль делить нельзя. А в уравнении 0*Х=0 бесконечно много корней, потому что любое число при умножении на ноль будет равно нулю. Поэтому линейное уравнение может иметь:

  • Один корень;
  • Ни одного корня;
  • Бесконечно много корней (только в варианте 0*Х=0).

 

Читайте также: Логарифмы: свойства и формулы

Какие операции можно выполнять с линейными уравнениями?

Для успешного решения линейных уравнений, необходимо уметь выполнять с ними базовые действия.

Перенос слагаемых между частями

Для решения некоторых линейных уравнений необходимо перенести слагаемые из одной части в другую и при этом сменить знак на противоположный. Рассмотрим на примере:

2х + 7 = -3х + 7

Все, что содержит переменную х, переносится влево, остальные числа – вправо. –3х перемещается в левую часть вместе со знаком, минус превращается в плюс.

2х + Зх

Число 7 из левой части переносится в правую, но уже со знаком минус.

2х + Зх = 7 - 7

Далее необходимо к 2х добавить 3х, а от 7 отнять 7.

5х = 0

Для нахождения второго множителя, необходимо произведение поделить на первый множитель.

х = 0

Умножение/деление частей уравнения на определенное число

В следующем линейном уравнении присутствуют дроби. 

Линейное уравнение

Но не пугайтесь, от них можно легко избавиться. Для этого нужно воспользоваться одной доступной опцией: обе части линейного уравнения можно умножать или делить на одно и то же число.

 

Чтобы избавиться от дробей в линейном уравнении, нужно две части умножить на знаменатель, в данном случае – на 5.

Линейное уравнение

х - 4 = 5

х = 5 + 4

х = 9

Читайте также: Как научиться собирать кубик Рубика

Решение системы линейных уравнение методом Крамера

Ученики 9 класса знакомятся с более сложными примерами и решают системы уравнений. Часто для этого используют формулу Крамера. 

 

Чтобы воспользоваться методом Крамера для решения системы уравнений, понадобится:

  • Условие задачи;
  • Четыре матрицы.

Линейное уравнение

 

В верхнем ряду, возле условия, расположена основная матрица решения с условным обозначением . Она получена из коэффициентов при х, у, z. Коэффициент при х в первом уравнении 1, во втором 3, в третьем -2. Эти числа расположены в первом столбце матрицы. 2, -1 и 2 являются коэффициентами у и образуют второй столбец основной матрицы. Коэффициенты z 1, -1 и 3 расположены в третьем столбце.

 

Вторая матрица с условным обозначением х, которая расположена на изображении ниже условия, образована из основной матрицы, с заменой первого столбца на числа из условия, которые стоит после знака равенства. То есть коэффициент х в первом уравнении 1 нужно заменить на -1, в двух остальных уравнениях происходит аналогичная замена.

 

Третья матрица с условным обозначением у, которая расположена справа от второй, образована из основной матрицы с заменой второго столбца на числа из условия, которые стоит после знака равенства. Если во второй матрице мы первый столбец 1, 3, -2 меняли на -1,-1 и 5, то во теперь первый столбец остается без изменений, а числа -1,-1 и 5 заменяют 2, -1 и 2.

 

В третьей матрице необходимо заменить третий столбец числами из условия, которые стоят после знака равенства. 

 

Четвертая матрица с условным обозначением z расположена справа от третьей матрицы. Она образована из основной матрицы с заменой третьего столбца на числа из условия, которые стоит после знака равенства.

 

Принцип образования матриц отобразить графически.

Линейное уравнение

 

Теперь нужно выполнить самую сложную часть решения и найти детерминанты этих матриц. Для матрицы 3х3 детерминант можно найти двумя способами. В данной статье подробнее разберем правило треугольника. 

 

Необходимо перемножить элементы матрицы, соединенные красной линией, а затем сложить их, после этого перемножить элементы, соединенные синей линией и вычесть их из сумы красных.

Линейное уравнение

 

Разберем на примере основной матрицы.

Линейное уравнение

Det = 1 * (-1) * 3 + 3 * 2 * 1 + 2 * (-1) * (-2) - (-2) * (-1) * 1 - 2 * 3 * 3 - 1 * 2 * (-1) =
= -3 + 6 + 4 - 2 -18 + 2 = -11

 

Детерминант основной матрицы = -11, второй = 0, третьей = 22, четвертой =-33.

 

Третья вещь, которая нужна для решения системы уравнений методом Крамера – это простые формулы, которые называются формулы Крамера.

Линейное уравнение

Далее подставляем значения и находим ответ.

х = 0

у = -2

z = 3

 

Важно научиться решать системы линейных уравнений самостоятельно, потому что подобные задания часто включают в экзамен по математике. Если ученик воспользуется одним из общедоступных сайтов и решит систему уравнений онлайн, он получит верный ответ, но не получит знаний, необходимых для успешного написания контрольной, выпускного или вступительного экзамена. Если у вас возникают проблемы с решением систем уравнений, нужно обратиться за помощью к репетитору по математике.

 

Педагог поможет разобраться с линейными уравнениями и подтянуть другие темы по математике. Учитель проведет комплексную оценку знаний и исходя из результатов, составит план работы. Репетитор во время уроков ориентируется только на одного ученика, объясняет материал в комфортном для него темпе, при необходимости останавливается на сложных или важных для подопечного темах. Индивидуальные занятия с педагогом помогут подготовиться к следующему уроку, выпускному экзамену и поступлению в вуз.

 

Найти репетитора по математике или другому предмету вы можете на сайте BUKI.

https://buki.kz/news/lineinoe-uravnenie-cto-eto-takoe-i-kak-ego-resit/

Решение систем уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса – один из универсальных методов решения линейных систем уравнений. Состоит он из двух этапов:

  1. Прямой ход – исключение переменной из уравнения так, чтобы в уравнении осталась всего одна переменная.
  2. Подставление найденных переменных для нахождения оставшихся неизвестных.

 

Для наглядности разберем ту же систему уравнений, что и в методе Крамера.

линейное уравнение

Для решения этого примера достаточно знаний девятого класса: нужно уметь умножать уравнение на число и складывать два уравнения вместе. 

 

В начале нужно к первому уравнению прибавить второе. Второе и третье уравнение пока остаются без изменений.

Линейное уравнение

 

Далее необходимо прибавить к третьему уравнению первое уравнение и утроенное второе уравнение, то есть нужно все второе уравнение умножить на три и результат прибавить к первому и третьему.

 

Первое и второе уравнения переписывается без изменений, а в третьем нужно проделать вышеизложенные действия и сократить переменные.

Линейное уравнение

Далее для удобства и наглядности второе уравнение выносится на первое место, первое смещается на место второго, третье остается без изменений.

Линейное уравнение

Теперь снизу вверх находим переменные из уравнений.

Линейное уравнение

Метод Гаусса универсален, потому что он позволяет найти решение системы уравнений, когда она имеет множество решений и когда не имеет решений вовсе.

 

Существует немало онлайн-калькуляторов, которые позволяют решать уравнения методом Гаусса онлайн. Их удобно использовать для контроля своей работы после самостоятельного решения системы уравнений. Но не стоит пользоваться ими как основным способом, иначе есть риск плохо усвоить тему и получить неудовлетворительную оценку на контрольной или экзамене.

 

Читайте также: Развиваем логическое мышление у ребенка: список лучших игр, задач и мультфильмов

Оцените новость

Рейтинг: 5 из 5

На основе отзывов 1 пользователей

Нужен репетитор?

Выбирай лучших преподавателей на сервисе Буки!

Линейное уравнение: что это такое и как его решить

Что такое линейное уравнение?

Уравнение вида а*х=b, где а и b – это какие-то числа, называется линейным. Если ученика 7 класса попросят решить уравнение Х*2=6, он сразу же ответит, что Х=3. Это и есть линейное уравнение. Записывается в рабочей тетради оно следующим образом…Детальнее на BUKI

Как решать линейные уравнения?

Рассмотрим решение на примере следующего линейного уравнения. 11 * х = -132… Детальнее на BUKI

Какие операции можно выполнять с линейными уравнениями?

Перенос слагаемых между частями Для решения некоторых линейных уравнений необходимо перенести слагаемые из одной части в другую и при этом сменить знак на противоположный. Рассмотрим на примере: 2х + 7 = -3х + 7… Детальнее на BUKI

Что такое метод Крамера?

Чтобы воспользоваться методом Крамера для решения системы уравнений, понадобится: Условие задачи; Четыре матрицы. Детальнее на BUKI

Другие новости:

Регистрируйся как репетитор на BUKI!

Бесплатная регистрация за 10 минут

Занятия персонально или по Skype

Оплата напрямую от ученика

Также читайте раздел «Блоги репетиторов»:

Наука о данных. Наше будущее

Для многих начинающих профессионалов в области данных получение первой «настоящей» работы в области науки о данных может показаться чем-то вроде очень сложным. Вы не можете получить работу, не имея оп

Автор: Асем Д.

Подготовка к экзаменам IELTS и TOEFL: что надо знать для начала

Для студентов, планирующих подготовиться сдать международные экзамены на высокий балл: мотивация, база, общая характеристика, советы.

Автор: Виталий Р.

Точные науки как концепция развития общества и личности

В этой статье раскрываются особенности овладения точными науками и преимущества которые они дают.

Автор: Cергей Л.

6 советов для улучшения продуктивности в учебе

Хотите лучше учиться? Сколько времени вы потратите на изучение материала, который вы изучаете в классе? Будете ли вы заниматься каждую неделю или, как большинство студентов, подождать и засунуть все

Автор: Асем Д.

6 советов, которые увлекут ваших детей программированием

В нашем будущем ожидаются крупномасштабные изменения, и когда-нибудь программирование вполне может стать такой же неотъемлемой частью раннего образования, как чтение, письмо и математика. К счастью, в

Автор: Асем Д.